Задачи на составление уравнений и систем уравнений

Задачи на составление уравнений и систем уравнений

1. В комнате стояли стулья (с четырьмя ножками) и табуреты (с тремя ножками). Когда на каждый стул и каждый табурет село по одному школьнику, то общее число «ног» в комнате составило 39. сколько стульев и сколько табуретов стояло в комнате?

2. Два года назад Вася был в два раза моложе своего брата Пети, а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет братьям сейчас?

3. В детском игровом наборе имеются шарики, кубики, пирамидки и цилиндрики. Известно, что цилиндрик весит столько же, сколько весят шарик и кубик вместе, а три пирамидки - столько же, сколько два цилиндрика. Кроме того, шарик весит столько же, сколько весит кубик и пирамидка вместе. На правую чашку чашечных весов положили шарик. Сколько кубиков нужно положить на левую чашку, чтобы весы находились в равновесии?

4. Теннисист Вася подсчитывает процент выигранных им матчей от числа всех матчей, которые он сыграл. Перед последним турниром, на котором Вася выиграл все матчи, этот процент был равен 25%, а после турнира он стал равняться 75%. Определите, во сколько раз число сыгранных Васей на последнем турнире матчей больше числа матчей , сыгранных (выигранных и проигранных) им до этого турнира.

5. Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1 оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё остаются патроны). Сколько раз Вася точно поразил мишень, если вначале он на все свои деньги купил 10 патронов, выстрелить же ему удалось 20 раз, причём последний оставшийся у него патрон Вася из-за промаха вынужден был отдать?

6. Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1 оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё остаются патроны). Придя в тир, Вася на все свои деньги купил патроны. Сколько раз Вася точно поразил мишень, если в конце стрельбы выяснилось, что купил он столько же патронов, сколько раз точно поразил мишень, а выстрелить ему удалось 20 раз?

7. Однажды Вася пошёл в тир, в котором действовало следующее правило: за каждое попадание в мишень стрелок получает 2 дополнительных бесплатных патрона, а за каждый промах у него забирают 1 оплаченный или заработанный им патрон (если после промаха у стрелка ещё остаются патроны). Придя в тир, Вася на все свои деньги купил 10 патронов. Он точно не помнит, но уверен, что всего он выстрелил то ли 15, то ли 16 раз. Определите, сколько раз выстрелил Вася и сколько раз он попал в мишень.

8. Знайка, Незнайка и Торопыжка собирали яблоки в общественном саду. Известно, что число яблок, собранных Знайкой, в 2 раза меньше числа всех яблок, собранных Незнайкой и Торопыжкой вместе, а число яблок, собранных Незнайкой, в 3 раза меньше числа всех яблок, собранных Знайкой и Торопыжкой вместе. Кто из них собрал больше всех яблок, а кто – меньше всех?

9. Каждый из учеников пятого класса некоторой школы всем остальным сортам шоколадных батончиков предпочитает один из следующих сортов: «Марс», «Сникерс» или «Баунти». Причём число учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Марс», равно числу учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Сникерс», и на одного больше числа учеников, предпочитающих шоколадные батончики «Баунти». Из числа учеников, предпочитающих «Марс», ровно половина отдаёт предпочтение «Сникерсу» перед «Баунти», а из числа учеников, предпочитающих «Сникерс», вчетверо больше отдают предпочтение «Баунти» перед «Марсом». Сколько учеников в классе, если известно, что число учеников, предпочитающих «Сникерс», но отдающих предпочтение «Марсу» перед «Баунти», не более трёх?
10. В хозяйственном магазине продаются два типа «Набора для новосёлов». В один набор, который стоит 2700 рублей, входит 10 гвоздей, 20 шурупов и 30 дюбелей, а в другой, который стоит 4800 рублей, - 20 гвоздей, 30 шурупов и 50 дюбелей. Гвозди, шурупы и дюбели в этих наборах одинаковые. Может ли продавец узнать, на сколько дороже или дешевле гвоздь шурупа? Может ли продавец узнать стоимость в отдельности гвоздя, шурупа и дюбеля?

11. Для нумерации страниц в книге понадобилось 1000 цифр. Сколько страниц в книге, если нумерация начинается с третьей страницы, которая нумеруется цифрой 3?

12. Найдите два различных прямоугольника, таких, что периметр первого численно равен площади второго, а периметр второго численно равен площади первого. Укажите размеры найденных вами прямоугольников.

13. Подводя итоги контрольной работы по математике в классе, учительница отметила, что 15 школьников написали её на «4» или на «5», а число школьников, написавших контрольную на «3», на 5 больше числа школьников, написавших её на «4». Сколько школьников присутствовало на контрольной работе, если известно, что общая сумма полученных ими оценок равна 100? (Возможны оценки: 2, 3, 4 и 5.)

14. В трёхзначном числе цифру сотен увеличили на 3, цифру десятков – на 2, а цифру единиц – на 1. В результате получилось новое трёхзначное число, в четыре раза больше исходного. Каким было исходное число?

15. Для наполнения бассейна используют несколько одинаковых труб. Если бы таких труб было в 2 раза больше, то бассейн можно было бы наполнить на 5 часов раньше, а если бы таких труб было больше на 2, то бассейн можно было бы наполнить за 6 часов. Сколько труб используют для наполнения бассейна?

16. Каждый ученик класса либо правдивый, то есть всегда говорит правду, либо лжец, то есть всегда лжёт. При этом лжецы есть двух типов: беззастенчивые и застенчивые. Беззастенчивые лжецы, отвечая на какой-либо вопрос, врут, не моргнув, а застенчивые лжецы лгут и при этом всякий раз моргают. Каждый правдивый же, отвечая на вопросы, говорит правду, при этом моргает строго через раз. Однажды учитель задал ученикам подряд два вопроса. Отвечая на вопрос: «Являешься ли ты застенчивым лжецом?», 9 учеников класса моргнули, причём 17 ответов были «нет». А отвечая на вопрос: Являешься ли ты беззастенчивым лжецом?», 13 учеников класса моргнули, причём 19 ответов были «нет». Сколько учеников в этом классе?

17. В олимпиаде по математике приняли участие школьники 5 – 7 классов. Среди участников число девочек 5-х и 6-х классов оказалось больше числа мальчиков 7 класса на число, равное числу членов жюри; число девочек 6-х и 7-х классов оказалось меньше числа мальчиков 5-го класса на число, в полтора раза большее числа членов жюри; а число девочек 5-х и 7-х классов – больше числа мальчиков 6-го класса на число, в два раза меньшее числа членов жюри. Могло ли оказаться, что в олимпиаде участвовало ровно 100 школьников?

18. Во время проведения олимпиады по математике каждому участнику были выданы 1 тетрадка, 1 ручка и 1 карандаш. Всего у организаторов было 90 тетрадей, а количество карандашей было в два раза больше, чем количество ручек. После окончания олимпиады выяснилось, что число не розданных ручек в два раза меньше числа не розданных тетрадей и в три раза меньше числа не розданных карандашей. Сколько школьников участвовало в олимпиаде?

Решение и ответы можно посмотреть здесь.