- На листе школьной тетради в клеточку некоторые из клеток закрасили. Оказалось, что в любом квадрате 3 х 3 клеточки закрашено не менее 7 клеток. Верно ли, что на этом листе найдётся квадрат 2 х 2 клеточки, все 4 клетки которого закрашены?
- Имеется квадратная доска 8 х 8 клеточек. Нужно покрасить каждую клетку доски в один из цветов так, чтобы клеточки, закрашенные одним цветом, не имели общих точек (в том числе и угловых). Какое наименьшее число цветов для этого понадобится?
- В квадратной таблице 7 х 7 ровно 19 клеток окрашены; при этом в каждом столбце и в каждой строке закрашена хотя бы одна клетка. Строка или столбец таблицы называется окрашенной (окрашенным), если более половины клеток этой строки (столбца) окрашены. Определите, какое наибольшее количество окрашенных строк и столбцов (вместе взятых) может быть в этой таблице.
- Дана клетчатая доска 4 х 4 (4 строчки и 4 столбца). Какое наибольшее число клеток можно отметить так, чтобы не нашлось а) ни одного квадрата с вершинами в центрах отмеченных клеток и сторонами, параллельными сторонам доски? б) ни одного прямоугольника с вершинами в центрах отмеченных клеток и сторонами, параллельными сторонам доски?
- Дан квадрат 5 х 5 клеточек. Нужно закрасить некоторые клеточки так, чтобы выполнялось условие: для любой незакрашенной клетки имеется ровно одна соседняя с ней закрашенная клетка. Две клетки называются соседними, если они имеют общую сторону. Закрасьте с соблюдением следующего условия а) 10 клеточек; б) 9 клеточек; в) 8 клеточек.
- Дан прямоугольник 5 х 7 клеточек. Нужно закрасить некоторые его клетки так, чтобы выполнялось следующее условие: для любой незакрашенной клетки имеется ровно одна соседняя с ней закрашенная клетка. Две клетки называются соседними, если они имеют общую сторону. Закрасьте с соблюдением следующего условия а) 10 клеточек; б) 9 клеточек.
- Сколько фишек можно поставить на клетки клетчатой доски 10 х 10 так, чтобы в каждом квадрате 3 х 3 оказалось ровно по одной фишке? Укажите все возможные значения.
- Можно ли каждую клетку квадрата 4 х 4 покрасить в один из трёх цветов так, чтобы у каждой клетки было не менее двух разноцветных соседних клеток и чтобы у каждой клетки количества её соседних клеток разного цвета были равны? Соседние клетки не обязательно окрашены в разные цвета. Две клетки называются соседними, если они имеют общую сторону.
- Можно ли каждую клетку квадрата 6 х 6 покрасить в один из трёх цветов так, чтобы у каждой клетки было не менее двух разноцветных соседних клеток и чтобы у каждой клетки количества её соседних клеток разного цвета были равны? Соседние клетки не обязательно окрашены в разные цвета. Две клетки называются соседними, если они имеют общую сторону.
- Можно ли каждую клетку квадрата 5 х 5 покрасить в один из трёх цветов так, чтобы у каждой клетки было не менее двух разноцветных соседних клеток и чтобы у каждой клетки количества её соседних клеток разного цвета были равны? Соседние клетки не обязательно окрашены в разные цвета. Две клетки называются соседними, если они имеют общую сторону.
- Дан квадрат п х п клеточек (п ≥ 2). Художник Тюбик хочет закрасить его клетки в 3 цвета (каждую клетку – в один цвет) так, чтобы у каждой клетки среди её соседних клеток были клетки двух других цветов (не обязательно только двух других цветов). Клетки соседние, если у них есть общая сторона. Найдите все п, при которых так закрасить клетки квадрата п х п Тюбик может.
- В некоторые клетки таблицы 9 х 9 поставили по фишке так, что в каждой строчке стоит ровно одна фишка и в каждом столбце стоит ровно одна фишка. Может ли при этом оказаться, что в каком-то квадрате 5 х 5 со сторонами, идущими по сторонам клеток нет ни одной фишки?
- Имеется таблица 10 х 10. В некоторые клетки таблицы поставили по фишке так, что в каждой строчке стоит ровно одна фишка и в каждом столбце стоит ровно одна фишка. Рассмотрим в этой таблице два квадрата: левый нижний квадрат 7 х 7 и правый верхний квадрат 3 х 3. На сколько больше фишек может быть в первом из этих квадратов, чем во втором?
Решение и ответы можно посмотреть здесь.