1. На плоскости
расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки
вращаться одновременно?
Решение: Предположим, что
первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна
вращаться против часовой стрелки. Третья – снова по часовой, четвертая – против
и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные»
– против. Но тогда 1-я и 11-я шестеренки одновременно вращаются по часовой
стрелке. Противоречие.
2. Конь вышел с
поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал
четное число ходов.
Решение: Поскольку при
каждом ходе меняется цвет поля, на котором стоит конь, то имеет место
чередование цветов: белого и черного.
3. Может ли конь
пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей
ровно один раз?
Решение: Ответ: нет, не
может.
Так
как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на
поле другой четности, нежели a1; но h8 имеет тот же цвет.
4. Может ли прямая,
не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?
Решение: Ответ: нет, не
может.
Если
мы обойдем контур ломаной, переходя из каждой вершины в следующую, то каждый
раз, пересекая прямую, будем оказываться в другой полуплоскости (прямая делит
плоскость на две половины). Таким образом, имеет место чередование, и значит,
количество вершин должно быть четным.
5. На хоккейном
поле лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьет по одной из них так, что она
пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы
оказаться на исходных местах?
Решение: Ответ: нет, не
могут.
Будем
называть расположение шайб правильным, если обходя вершины треугольника ABC
именно в порядке A–B–C, мы получим обход по часовой стрелке, и неправильным в
противном случае. Легко видеть, что при каждом ударе тип расположения меняется.
6. Катя и ее друзья
встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола.
Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?
Решение: Ответ: Пять.
Четность – разбиение на пары
7. Можно ли
нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно
с одним из остальных звеньев?
Решение: Если бы такое
было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся.
Однако тогда число звеньев должно быть четным.
8. Можно ли доску
размером 5 × 5 заполнить доминошками размером 1 × 2?
Решение: Нельзя, так как
общее количество клеток (25) не делится на два, а каждая доминошка покрывает
две клетки.
9. Дан
осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит
через одну из его вершин. Что можно сказать в случае 10-угольника?
Решение: Если ось
симметрии не проходит через вершину, то данные 101 точка должны разбиваться на
пары симметричных, что невозможно.
10. Все костяшки
домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на
другом конце?
Решение: Поскольку внутри
цепи все числа встречаются парами, а общее количество половинок домино с
пятерками – восемь, то и на другом конце цепи стоит пятерка.
11. Из набора домино
выбросили все кости с «пустышками». Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?
Решение: Докажем это от
противного. Если такая цепь имеется, то одно из чисел 1, 2, 3 не встречается на
концах. Пусть это число 3. Но так как внутри цепи троек четное количество, а
всего их осталось после выкидывания костей с пустышками семь, то получаем
противоречие.
12. Можно ли
выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?
Решение: Если выпуклый
многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то его стороны обязательно
разбиваются на пары параллельных.
13. На доске 25 × 25
расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно
диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.
Решение: Поскольку в
противном случае шашки разбиваются на пары симметричных, то на диагонали
обязательно должно стоять нечетное число шашек.
14. Допустим теперь,
что расположение шашек в задаче 13 симметрично относительно обеих главных
диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке.
Решение: Допустим, что
это не так. Соединим шашки, симметричные относительно какой-либо из диагоналей,
ниткой. После этого разложим все шашки на «ожерелья» – группы шашек, соединенных
нитками. Тогда в каждом из «ожерелий» – либо две, либо четыре шашки. Значит,
общее количество шашек должно быть четным – противоречие.
15. В каждой клетке
квадратной таблицы размером 25 × 25 записано одно из чисел 1, 2, 3, …, 25. При
этом, во-первых, в клетках, симметричных относительно главной диагонали,
записаны равные числа, и во-вторых, ни в какой строке и ни в каком столбце нет
двух равных чисел. Докажите, что числа на главной диагонали попарно различны.
Решение: Поскольку единиц
25 штук, то на главной диагонали должна быть хотя бы одна единица. Аналогично,
на главной диагонали есть двойка, тройка и т.д.
Четность
и нечетность
Задача
16:
16. Можно ли
разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Решение: Ответ: Нет
17. Петя купил общую
тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от
1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые
на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?
Решение: На каждом листе
сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.
18. Произведение 22
целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
Решение: Среди этих чисел
– четное число «минус единиц», а для того, чтобы сумма равнялась нулю, их должно
быть ровно 11.
19. Можно ли
составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?
Решение: Среди этих чисел
одно (2) – четное, а остальные – нечетные. Поэтому в той строке, где стоит
двойка, сумма чисел нечетна, а в других – четна.
20. В ряд выписаны
числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки « + » и « – » так, чтобы
значение полученного выражения было равно нулю?
Замечание:
учтите, что отрицательные числа также бывают четными и нечетными.
Решение: В самом деле,
сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение
на четное число.
21. Кузнечик прыгает
по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй
раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться
там, где начинал.
Решение: Указание: Сумма
1 + 2 + … + 1985 нечетна.
22. На доске
написаны числа 1, 2, 3, …, 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два
числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске
останется одно число. Может ли оно равняться нулю?
Решение: Проверьте, что
при указанных операциях четность суммы всех написанных на доске чисел не
меняется.
23. Можно ли покрыть
шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки
a1 и h8?
Решение: Каждая доминошка
покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных
полей остается на 2 меньше, чем белых.
24. К 17-значному
числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.
Решение: Разберите два
случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и
последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы –
нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что,
очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при
движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в
результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.
25. В народной
дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли
через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один
раз?
Решение: Так как на
каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя
другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.
26. На прямой
отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от
этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
Решение: Для любой точки
X, лежащей вне AB, имеем AX – BX = ± AB.
Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что
выражение ± AB ± AB ± … ±
AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.
27. По кругу
расставлено 9 чисел – 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами
проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они
различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли
через некоторое время все числа стать одинаковыми?
Решение: Ясно, что
комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если
же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были
чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.
28. 25 мальчиков и
25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за
столом оба соседа – мальчики.
Решение: Проведем наше
доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку,
начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k
– 2)-м и на (k + 2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек
поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n – 2)-м
и на (n + 2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25
человек, которые сидят на «четных» местах, то получим, что среди них мальчики и
девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 – нечетное
число.
29. Улитка ползет по
плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число
часов.
Решение: Ясно, что
количество a участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно
количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только
заметить, что a – четно.
30. Три кузнечика
играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не
через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?
Решение: Обозначим
кузнечиков A, B и C. Назовем расстановки кузнечиков ABC, BCA и CAB (слева
направо) – правильными, а ACB, BAC и CBA – неправильными. Легко видеть, что при
любом прыжке тип расстановки меняется.
31. Есть 101 монета,
из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя
взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей
разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это
сделать?
Решение: Нужно отложить
данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по
50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число
грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то
монета фальшивая.
32. Можно ли выписать
в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой,
двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?
Решение: В противном
случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.